Théorie des graphes

La théorie des graphes est issue de problèmes ayant l'allure de jeux mathématiques, comme le problème du « voyageur de commerce » : tracer le plus court chemin que pourrait emprunter un représentant pour rendre visite à ses clients dans une série de villes, en ne passant qu'une seule fois dans chaque ville. Elle a d'abord trouvé des applications en théorie des probabilités.Ses applications actuelles sont orientées vers la logistique et l'informatique (optimisation des réseaux de transport, de personnes, de marchandises ou de données, optimisation des itinéraires, du stockage, Internet, GPS, architecture des ordinateurs) et elle suscite de ce fait un intérêt grandissant. En retour, on utilise abondamment l'informatique pour donner des solutions pratiques aux problèmes de graphes que l'on se pose, d'où l'importance donnée dans ce livre aux algorithmes.La théorie des graphes a été introduite il y a une quinzaine d'années dans les programmes du secondaire français, et ce livre a été écrit à cette occasion, à l'intention des professeurs.Un graphe se définit simplement comme un ensemble de points dont certains sont reliés par des lignes.Le premier problème considéré comme un problème de théorie des graphes est celui des sept ponts de Königsberg (Euler, 1736), qu'on peut aisément transposer à Paris : peut-on effectuer une promenade qui nous ramène à notre point de départ en empruntant une fois et une seule chacun des ponts de la ville ?La formulation de ce problème comme un problème de graphes fait intervenir quatre points, A, B, C, D représentant respectivement la rive droite, la rive gauche, l'île de la Cité et l'île Saint-Louis, et des lignes reliant ces points, représentant les ponts. Le célèbre problème des quatre couleurs (peut-on colorier n'importe quelle carte avec quatre couleurs seulement, de façon que deux pays voisins n'aient pas la même couleur ?) peut aussi se traduire un termes de graphes : un point par pays, une ligne reliant deux points si les deux pays ont une frontière commune. Et il est de même du célèbre problème du loup, de la chèvre et du chou.On conçoit qu'un grand nombre de problèmes de la vie économique puissent être traités et résolus comme des problèmes de graphes : pour une compagnie aérienne, comment éviter qu'à un certain moment tous les avions se trouvent d'un côté de l'Atlantique et presque tous les pilotes de l'autre côté ? Vu le grand nombre de données en jeu, la résolution pratique de ce genre de problème implique l'usage des ordinateurs.L'informatique, avec ses réseaux, avec l'architecture des ordinateurs, est elle-même la plus grande consommatrice de théorie des graphes.On peut être surpris que des objets aussi pauvres que les graphes puissent donner lieu à une théorie aussi riche. La réponse est certainement dans la variété des problèmes posés par les applications.Le livre de Cogis et Schwartz, qui n'oublie pas l'anecdote et les applications, présente la théorie de graphes comme une théorie mathématique, avec des définitions et des énoncés précis, et des démonstrations complètes ce qui est nécessaire pour permettre à l'étudiant de comprendre et d'élaborer lui-même les algorithmes de résolution des problèmes qui forment une partie essentielle du livre.