Intégration MP-MP*

Cet ouvrage propose un cours détaillé sur le programme d'intégration des classes préparatoires aux grandes écoles MP-MP*, PC-PC*, et PSI-PSI*. Il débute avec l'étude des séries, les familles sommables, les suites et séries de fonctions; le point central est bien sûr constitué par l'intégration d'abord sur un segment puis sur un intervalle quelconque, avec de nombreuses applications. Il s'achève avec l'étude des séries de Fourier, et des applications géométriques. Enfin, vous trouverez de nombreuses applications, et les chapitres sont accompagnés d'exercices dont la plupart sont issus des oraux de concours, ou de problèmes d'écrit. SOMMAIRE Chapitre 1 : Séries. 1.1 Suites et séries. 1.2 Premiers exemples. 1.3 Les séries alternées. 1.4 Séries à termes positifs. 1.5 Comparaison à une intégrale. 1.6 Séries dans une espace vectoriel normé de dimension finie. 1.7 Le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. 1.8 Compléments: groupement de termes, convergence commutative, produits infinis. Exercices du chapitre 1. Chapitre 2 : suites et sÉries de fonctions. 2.1 Convergence simple, convergence uniforme. 2.2 Continuité et limite. 2.3 Séries de fonctions. Exercices du chapitre 2. Chapitre 3 : Familles sommables. 3.1 Ensembles dénombrables. 3.2 Introduction aux familles sommables. 3.3 Familles sommables de réels positifs. 3.4 Familles sommables de nombres complexes. 3.5 Interversion de sommations. 3.6 Applications. Exercices du chapitre 3. Chapitre 4 : Approximation des fonctions sur un segment. 4.1 Fonctions en escalier, continues par morceaux. 4.2 Approximations uniformes. 4.3 Annexe 1: Théorème de Darboux. 4.4 Annexe 2 : Propriété de Borel Lebesgue. Exercices du chapitre 4. Chapitre 5 : Intégration sur un segment. 5.1 Intégration des fonctions en escalier. 5.2 Intégrale des fonctions continues par morceaux, réglées. 5.3 Intégration et dérivation. 5.4 Intégration par parties, applications. 5.5 Changement de variable. 5.6 Sommes de Riemann. 5.7 Applications du calcul intégral. 5.8 Thème d'étude: la formule d'Euler Mac Laurin. Exercices du chapitre 5. Chapitre 6 : Calculs d'intégrales. 6.1 Calcul des primitives. 6.2 Méthodes numériques. Exercices du chapitre 6. Chapitre 7 : Intégration et analyse fonctionnelle (I). 7.1 Convergence en moyenne, en moyenne quadratique. 7.2 Approximations en moyenne. 7.3 Théorèmes de convergence sur un segment. 7.4 Intégrales dépendant d'un paramètre. Exercices du chapitre 7. Chapitre 8 : Intégration sur un intervalle. 8.1 Fonctions continues par morceaux, localement réglées. 8.2 Fonctions positives intégrables. 8.3 Fonctions complexes intégrables. 8.4 Intégration des relations de comparaison. 8.5 Fonctions semi-intégrables. Exercices du chapitre 8. Chapitre 9 : Intégration et analyse fonctionnelle (II). 9.1 Modes de convergence dans J1(I) et J2(I). 9.2 Les théorèmes de convergence. 9.3 Intégrales dépendant d'un paramètre. 9.4 Exemples et applications. 9.5 Thème d'étude : prolongement de la fonction z. 9.6. Thème d'étude: Notions sur la transformation de Laplace. 9.7 Thème d'étude: Notions sur la transformation de Fourier. Exercices du chapitre 9. Chapitre 10 : Séries de Fourier. 10.1 Les outils de l'analyse de Fourier. 10.2 Coefficients, séries de Fourier. 10.3 Convergence au sens de Césaro. 10.4 Convergence en moyenne quadratique. 10.5 Convergence uniforme des sommes de Fourier. 10.6 Le théorème de Dirichlet. 10.7 Compléments. 10.8 Aide-mémoire. Exercices du chapitre 10. Chapitre 11 : Applications géométriques. 11.1 Etude métrique. 11.2 Intégrale curviligne. Exercices du chapitre 11. Index